Question

3．設函數f（x）=sinx-cosx+x+1，0＜x＜2π，求函數f（x）的單調區間與極值．

Answer 1

分析 求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可．

解答 解：由f（x）=sinx-cosx+x+1，0＜x＜2π，
得f'（x）=cosx+sinx+1，
于是$f'（x）=1+\sqrt{2}sin（{x+\frac{π}{4}}）$．
令f'（x）=0，從而$sin（{x+\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
得x=π或$x=\frac{3π}{2}$．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，π）	π	$（{0，\frac{3}{2}π}）$	$\frac{3}{2}π$	$（{\frac{3}{2}π，2π}）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	π+2	單調遞減	$\frac{3}{2}π$	單調遞增

因此由上表知f（x）的單調遞增區間是（0，π）與$（{\frac{3π}{2}，2π}）$，單調遞減區間是$（{\frac{3π}{2}，2π}）$，
故函數的極小值為$f（{\frac{3π}{2}}）=\frac{3π}{2}$，極大值為f（π）=π+2．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及三角函數問題，是一道中檔題．