Question

8．在△ABC中，a、b、c分別是三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若向量$\overrightarrow x$=$（a，\sqrt{3}b）$與向量$\overrightarrow y=（cosA，sinB）$共線
（1）求角A；
（2）若a=2，求b+c得取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的共線性質(zhì)和正弦定理即可求出A的值，
（2）根據(jù)正弦定理表示出b，c再根據(jù)兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：（1）∵asinB=$\sqrt{3}$bcosA，
∴sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，
∵sinB＞0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$
（2）∵$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{4}{{\sqrt{3}}}$，
∴$b+c=\frac{4}{{\sqrt{3}}}（sinB+sinC）=\frac{4}{{\sqrt{3}}}（sinB+sin（\frac{2π}{3}-B））=4sin（B+\frac{π}{6}）$
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$⇒$\frac{π}{6}$＜$B+\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$⇒$\frac{1}{2}$＜$sin（B+\frac{π}{6}）$≤1，
∴2＜b+c≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的共線和正弦定定理和兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．