Question

20．以直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ；（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）若直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{2}{{\sqrt{5}}}t\\ y=1+\frac{1}{{\sqrt{5}}}t\end{array}\right.$（t為參數），設點P（1，1），直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標互化公式求解即可．
（2）參數方程代入拋物線方程，利用參數的幾何意義求解即可．

解答 解：（1）由曲線C的原極坐標方程可得ρ²sin²θ=4ρcosθ，
化成直角方程為y²=4x．…（4分）
（2）聯立直線線l的參數方程與曲線C方程可得${（1+\frac{1}{{\sqrt{5}}}t）^2}=4（1+\frac{2}{{\sqrt{5}}}t）$，
整理得${t^2}-6\sqrt{5}t-15=0$，…（7分）
∵t₁•t₂=-15＜0，于是點P在AB之間，
∴$|{PA}|+|{PB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=4\sqrt{15}$．…（10分）

點評 本題考查極坐標方程與普通方程的互化，參數方程的幾何意義，考查計算能力．