Question

10．函數f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：①對任意x∈R，有f（x）＞0；②對任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③$f（\frac{1}{3}）＞1$．
（1）求證：f（x）在R上是單調增函數；
（2）若f（4^x+a•2^x+1-a²+2）≥1對任意x∈R恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法求f（1），然后根據指數函數的性質確定函數的單調性．
（2）利用函數的單調性將不等式轉化為4^x+a•2^x+1-a²+2≥0任意x∈R恒成立，然后利用指數不等式的性質求a的取值范圍．

解答 解：（1）證明：令x=$\frac{1}{3}$，y=3得f（1）=[f（$\frac{1}{3}$）]³，∵$f（\frac{1}{3}）＞1$．∴所以f（1）＞1．
令x=1，則f（xy）=f（y）=[f（1）]^y，
即f（x）=[f（1）]^x，為底數大于1的指數函數，
所以函數f（x）在R上單調遞增．
（2）f（xy）=[f（x）]^y中令x=0，y=2有f（0）=[f（0）]²，對任意x∈R，有f（x）＞0，
故f（0）=1，
f（4^x+a•2^x+1-a²+2）≥1即f（4^x+a•2^x+1-a²+2）≥f（0），
由（1）有f（x）在R上是單調增函數，即：4^x+a•2^x+1-a²+2≥0任意x∈R恒成立
令2^x=t，t＞0則t²+2at-a²+2≥0在（0，+∞）上恒成立．
 i）△≤0即4a²-4（2-a²）≤0得-1≤a≤1；
 ii）$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\-a＜0\\-{a^2}+2≥0\end{array}\right.$得$1＜a≤\sqrt{2}$．
綜上可知$-1≤a≤\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查抽象函數的應用和性質，利用賦值法是解決抽象函數的基本方法，綜合性較強，屬于中檔題．