Question

20．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點F作圓x²+y²=a²的切線FM，交y軸于點P，切圓于點M，若$2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}$，則雙曲線的離心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據向量加法法則，得到OM是△POF中PF邊上的中線．由PF與圓x²+y²=a²相切得到OM⊥PF，從而可得△POF是等腰直角三角形，∠MFO=45°．最后在Rt△OMF利用三角函數的定義算出$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得雙曲線的離心率大�。�

解答 解：∵$2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}$，
∴△POF中，OM是PF邊上的中線．
∵PF與圓x²+y²=a²相切，∴OM⊥PF，
由此可得△POF中，PO=FO，∠MFO=45°，
又∵Rt△OMF中，OM=a，OF=c，
∴sin∠MFO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
因此，雙曲線的離心率e=$\sqrt{2}$．
故答案為$\sqrt{2}$．

點評 本題在雙曲線中給出向量關系式，在直線與圓相切的情況下求雙曲線的離心率．著重考查了解直角三角形、向量的加法法則、直線與圓的位置關系和雙曲線的簡單性質等知識，屬于中檔題．