Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;\;\;（a＞b＞0）$，其離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，點F是其一個焦點，P 為橢圓上一點，|PF|的最小值為$\sqrt{3}-1$，直線l：y=m（x-1）．
（1）求橢圓的標準方程
（2）證明：直線l與橢圓C總有兩個不同的交點；
（3）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，是否存在實數m，使得以線段AB為直徑的圓過坐標原點？若存在，求實數m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式，求得a=$\sqrt{3}$c，a-c=$\sqrt{3}-1$，即可求得a和c的值，則b²=a²-c²=2，即可求得橢圓的標準方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，則直線l與橢圓C總有兩個不同的交點；
（3）由韋達定理及向量數量積的坐標運算，解得：m²=-6，故不存在這樣的實數，使得以線段AB為直徑的圓過坐標原點．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則a=$\sqrt{3}$c，
由|PF|的最小值為$\sqrt{3}-1$，即a-c=$\sqrt{3}-1$，解得a=$\sqrt{3}$，c=1，
b²=a²-c²=2，
∴橢圓的標準方程：$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；（4分）
（2）證明：由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1}\\{mx-y-m=0}\end{array}}\right.$，消去y，整理得（3m²+2）x²-6m²x+3m²-6=0
∵△=（-6m²）²-4（3m²+2）（3m²-6）=48m²+48＞0，
∴對于m∈R，直線l與橢圓C總有兩個不同的交點；      （6分）
（3）設A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由（2）可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{6{m^2}}}{{3{m^2}+2}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{3{m^2}+2}}$，y₁y₂=m（x₁-1）•m（x₂-1）
=m²（x₁x₂-（x₁+x₂）+1）=$\frac{-4{m}^{2}}{3{m}^{2}+2}$，
假設存在實數m，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，則x₁x₂+y₁y₂=0，
可得m²=-6，所以不存在．   （12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理及向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．