Question

8．已知定義在（0，+∞）的函數f（x）=|4x（1-x）|，若關于x的方程f²（x）+（t-3）f（x）+t-2=0有且只有3個不同的實數根，則實數t的取值集合是{2，$5-2\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 通過f（x）的圖象，研究關于y的二次方程y²+（t-3）y+t-2=0有且只有3個不同的實數根．設g（y）=y²+（t-3）y+t-2，通過對y的取值范圍，去對t進行討論，可得答案．

解答 解：作出f（x）圖象，研究關于y的二次方程y²+（t-3）y+t-2=0根的分步．設g（y）=y²+（t-3）y+t-2，t=2時，y=0，y=1，由圖象可知顯然符合題意．
t＜2時，一正一負根，即g（0）＜0，g（1）＜0，方程的根大于1，
f²（x）+（t-3）f（x）+t-2=0只有1個根，t＞2時，兩根同號，只能有一個正根在區間（0，1），而
g（0）=t-2，g（1）=2t-4，其對稱軸y=$\frac{3-t}{2}∈（0，1）$，1＜t＜3
△=0，可得t=5$±2\sqrt{2}$
∴$t=5-2\sqrt{2}$．
∴實數t的取值集合是{2，$5-2\sqrt{2}$}
故答案為：{2，$5-2\sqrt{2}$}．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，二次函數的性質，其中根據方程的根與零點零點的關系，將問題轉化為確定函數的零點問題，是解答本題的關鍵．