Question

20．已知關于x的不等式（4kx-k²-12k-9）（2x-11）＞0，其中k∈R，對于不等式的解集A，記B=A∩Z（其中Z為整數集），若集合B是有限集，則使得集合B中元素個數最少時的實數k的取值范圍是{2，3，4，5}．

Answer 1

分析 對k分類討論，利用一元二次不等式的解法求出已知不等式的解集確定出A，根據B=A∩Z（其中Z為整數集），集合B為有限集，即可得出．

解答 解：分情況考慮：①當k＜0，A={x|$\frac{k}{4}$+$\frac{9}{4k}$+3＜x＜$\frac{11}{2}$}；
②當k=0，A={x|x＜$\frac{11}{2}$}；
③當0＜k＜1或k＞9，A={x|x＜$\frac{11}{2}$，或x＞$\frac{k}{4}$+$\frac{9}{4k}$+3}；
④當1≤k≤9，A={x|x＜$\frac{k}{4}$+$\frac{9}{4k}$+3，或x＞$\frac{11}{2}$}；
∵B=A∩Z（其中Z為整數集），集合B為有限集，
只有k＜0，B={2，3，4，5}．
故答案為：{2，3，4，5}

點評 此題考查了交集及其運算，以及一元二次不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，表示出解集A是解本題的關鍵．