Question

9．函數y=|log₃x|的圖象與直線l₁：y=m從左至右分別交于點A，B，與直線${l_2}：y=\frac{8}{2m+1}（m＞0）$從左至右分別交于點C，D．記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b，則$\frac{a}$的最小值為（　�。�

• A． $81\sqrt{3}$
• B． $27\sqrt{3}$
• C． $9\sqrt{3}$
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 依題意可求得A，B，C，D的橫坐標值，得$\frac{a}$=$\frac{|{3}^{m}-{3}^{\frac{8}{2m+1}|}}{|{3}^{-m}-{3}^{-\frac{8}{2m+1}}|}$=${3}^{m+\frac{8}{2m+1}}$，利用基本不等式可求最小值．

解答 解：在同一坐標系中作出y=m，y=$\frac{8}{2m+1}$（m＞0），y=|log₃x|的圖象，如圖，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由|log₃x|=m，得x₁=3^-m，x₂=3^m，
由log₃x|=$\frac{8}{2m+1}$，得x₃=${3}^{-\frac{8}{2m+1}}$，x₄=${3}^{\frac{8}{2m+1}}$．
依照題意得$\frac{a}$=$\frac{|{3}^{m}-{3}^{\frac{8}{2m+1}|}}{|{3}^{-m}-{3}^{-\frac{8}{2m+1}}|}$=${3}^{m+\frac{8}{2m+1}}$，
又m＞0，∴m+$\frac{8}{2m+1}$=$\frac{1}{2}$（2m+1）+$\frac{8}{2m+1}$-$\frac{1}{2}$≥$\frac{7}{2}$，
當且僅當$\frac{1}{2}$（2m+1）=$\frac{8}{2m+1}$，即m=$\frac{3}{2}$時取“=”號，
∴$\frac{a}$的最小值為27$\sqrt{3}$，
故選B．

點評 本題考查對數函數圖象與性質的綜合應用，理解投影的概念并能把問題轉化為基本不等式求最值是解決問題的關鍵，屬中檔題．