Question

1．設f（x）=1g$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+{4}^{x}•a}{4}$，其中a是實數，若f（x）當x∈（-∞，1]時有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得，當x∈（-∞，1]時，$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+{4}^{x}•a}{4}$＞0，即當x∈（-∞，1]時，a•4^x+3^x+2^x+1＞0，分離參數a，利用函數的單調性求出g（x）=-[$（\frac{3}{4}）^{x}+（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{4}）^{x}$]在x∈（-∞，1]上的最大值得答案．

解答 解：由題意可知，當x∈（-∞，1]時，$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+{4}^{x}•a}{4}$＞0，
即當x∈（-∞，1]時，a•4^x+3^x+2^x+1＞0，
∴a＞-[$（\frac{3}{4}）^{x}+（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{4}）^{x}$]在x∈（-∞，1]上恒成立．
∵函數g（x）=-[$（\frac{3}{4}）^{x}+（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{4}）^{x}$]在x∈（-∞，1]上為增函數，
∴$g（x）_{max}=g（1）=-\frac{3}{2}$．
∴$a＞-\frac{3}{2}$．
故a的取值范圍為（$-\frac{3}{2}，+∞$）．

點評 本題考查函數的定義域及其求法，考查數學轉化思想方法，是中檔題．