Question

15．已知F是雙曲線C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的左焦點，A（1，4），P是雙曲線右支上的動點．求：
（1）|PF|+|PA|的最小值；
（2）|PF|-|PA|的有沒有最大值？若有，求此最大值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設雙曲線的右焦點為F'，求出雙曲線的a，b，c，以及焦點坐標，運用雙曲線的定義和三點共線，可得最小值為|AF'|；
（2）延長FA交雙曲線右支于P，由|PF|-|PA|≤|AF|，結合漸近線的斜率和直線AF的斜率的關系，計算即可得到所求最大值．

解答 解：（1）設雙曲線的右焦點為F'，
雙曲線C：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$的a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=4，
可得F（-4，0），F'（4，0），
由雙曲線的定義可得|PF|-|PF'|=2a=4，
可得|PF|=4+|PF'|，
則|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥|AF'|，當A，P，F'共線時，取得等號．
|AF'|=$\sqrt{（1-4）^{2}+（4-0）^{2}}$=5．
可得|PF|+|PA|的最小值為5；
（2）|PF|-|PA|≤|AF|，當A，P，F三點共線時，取得等號．
延長FA交雙曲線右支于P，由雙曲線的漸近線的斜率為±$\sqrt{3}$，
直線AF的斜率為$\frac{4-0}{1+4}$=$\frac{4}{5}$＜$\sqrt{3}$，則P點存在．
|AF|=$\sqrt{（1+4）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\sqrt{41}$．
則|PF|-|PA|的最大值為$\sqrt{41}$．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是定義法的運用，以及三點共線取得最值，考查數形結合思想方法，屬于中檔題．