Question

13．已知圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）若直線l：y=x+k與曲線C相切，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據PM+PN=4，即P到M和P到N的距離之和為定值，得到P是以M、N為焦點的橢圓，求出橢圓方程即可；
（2）聯立直線l和曲線C得到方程組，根據△=0，得到關于k的方程，解出即可．

解答 解：（1）圓M：（x+1）²+y²=1，圓N：（x-1）²+y²=9，
設動圓P半徑為R．
∵M在N內，∴動圓只能在N內與N內切，不能是N在動圓內，即：R＜3
動圓P與圓M外切，則PM=1+R，
動圓P與圓N內切，則PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距離之和為定值．
∴P是以M、N為焦點的橢圓．
∵MN的中點為原點，故橢圓中心在原點，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴C的方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠-2）；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=x+k}\end{array}\right.$，得：7x²+8kx+4k²-12=0，
若直線l和曲線C相切，
則△=64k²-28（4k²-12）=0，
解得：k=±$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了求橢圓方程問題，考查直線和曲線的位置關系，是一道中檔題．