Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是面對角線B₁D₁的中點．
（1）求證：AO∥平面BDC₁；
（2）求證：A₁C⊥平面BDC₁．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）如圖所示，連接AC，BD交于G點，連接OC₁，GC₁，由OC₁

∥

.

AG，可得OA∥GC₁，從而可證OA∥平面C₁BD．
（2）連接AC，交BD于O，則BD⊥AC，結合A₁A⊥BD，由線面垂直的判定定理得BD⊥平面A₁AC，進而BD⊥A₁C，連接C₁O，可證得A₁C⊥C₁O，再利用線面垂直的判定定理即可得到A₁C⊥平面C₁BD；

解答： 證明：（1）如圖所示，連接AC，BD交于G點，連接OC₁，GC₁，
∴在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，OC₁

∥

.

AG，四邊形OC₁AG為平行四邊形，
∴OA∥GC₁，
又GC₁?平面C₁BD，OA?平面C₁BD，∴OA∥平面C₁BD．…（2分）

（2）連接AC，交BD于O，則BD⊥AC．
又A₁A⊥BD，∴BD⊥平面A₁AC．
∵A₁C?平面A₁AC，BD⊥A₁C．
連接C₁O，在矩形A₁C₁CA中，設A₁C交C₁O于M．
由

A1A

AC

=

OC

CC1

，知∠ACA₁=∠CC₁O．
∴∠C₁OC+A₁CO=∠C₁OC+∠CC₁O=

π

2

，∴∠CMO=

π

2

，
∴A₁C⊥C₁O．
又CO∩BD=0，CO?平面C₁BD，BD?平面C₁BD，
∴A₁C⊥平面C₁BD．…（7分）

點評：直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養，屬于中檔題．