Question

14．如圖為函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）圖象的一部分．
（1）當x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時，求函數f（x）的值域；
（2）若將函數y=f（x）圖象向左平移$\frac{π}{6}$的單位后，得到函數y=g（x）的圖象，若g（x）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象和性質，求得g（x）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$的解集．

解答 解：（1）根據函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）圖象，可得A=$\sqrt{3}$，
$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$，∴ω=2，再根據五點法作圖可得2•$\frac{π}{3}$+φ=0，∴φ=-2•$\frac{π}{3}$，
函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{2π}{3}$）．
當x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$]．
（2）將函數y=f（x）圖象向左平移$\frac{π}{6}$的單位后，得到函數y=g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$-$\frac{2π}{3}$）
=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
若g（x）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則sin（2x-$\frac{π}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，∴2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，∴kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈Z，
即要求的x的取值范圍為 （kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{7π}{12}$  ），k∈Z．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的圖象和性質，屬于中檔題．