Question

2．已知Rt△ABC的頂點分別為A（1，2），B（-1，-2）．，C（1，-2），圓E是△ABC的外接圓．
（I）求圓E的方程；
（II）求直線lmx-y-m+1=0被圓E截得的最短弦長及對應的直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）設圓E的方程為x²+y²+ax+by+c=0，因為點A（1，2），B（-1，-2），C（1，-2）均在圓E上代入圓方程求解即可；
（II）直線l恒過點D（1，1），由分析知在圓E恒過點D（1，1）的弦中，與DE垂直的弦最短；

解答 解：（I）設圓E的方程為x²+y²+ax+by+c=0；
因為點A（1，2），B（-1，-2），C（1，-2）均在圓E上；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+5+c=0}\\{-a-2b+5+c=0}\\{a-2b+5+c=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+4b=0}\\{2a=0}\end{array}\right.$；⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=0}\\{c=-5}\end{array}\right.$；
所以圓E的方程為x²+y²=5；
（II）直線l的方程mx-y-m+1=0可化為m（x-1）-y+1=0，
故直線l恒過點D（1，1），
因為在圓E恒過點D（1，1）的弦中，與DE垂直的弦最短，
又k_DE=1；
故當m=-1 時弦長最短，
最短弦長為2$\sqrt{5-2}$=2$\sqrt{3}$，對應的直線L的方程為x+y-2=0．

點評 本題主要考查了圓的標準方程，直線與圓的位置關系以及直線方程應用，屬中檔題．