Question

14．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=kn（n+1）-n（k∈R），公差d為2．
（Ⅰ）求k與a_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足${b_1}=\frac{8}{3}，{b_n}-{b_{n-1}}={2^{a_n}}（n≥2）$，求b_n．

Answer 1

分析 （I）利用數列遞推公式可得a₁=S₁=2k-1，a₂=S₂-S₁=4k-1，可得a₂-a₁=2k=2，解得k．即可得出．
（II）由題意${b_1}=\frac{8}{3}，{b_n}-{b_{n-1}}={2^a}={2^{2n-1}}（n≥2）$，利用累加法與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得a₁=S₁=2k-1，a₂=S₂-S₁=4k-1，
∴a₂-a₁=2k=2，即k=1．
故數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列，即a_n=2n-1．
（Ⅱ）由題意${b_1}=\frac{8}{3}，{b_n}-{b_{n-1}}={2^a}={2^{2n-1}}（n≥2）$，
由累加法可得n≥2時，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=${2^2}+{2^5}+…+{2^{2n-1}}+{b_1}=\frac{{{2^3}（1-{4^{n-1}}）}}{1-4}+\frac{8}{3}=\frac{{{2^{2n+1}}}}{3}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．