Question

3．設△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，則角A的取值范圍為（0，$\frac{π}{4}$]．

Answer 1

分析 利用正弦定理化簡已知的等式，整理后利用同角三角函數間的基本關系化簡，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡得：b=2a，由余弦定理表示出cosA，整理后利用基本不等式求出cosA的范圍，再由A為三角形的內角，且根據余弦函數的單調性，即可得到A的范圍．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理化簡已知的等式得：sin²AsinB+sinBcos²A=$\sqrt{2}$sinA，
即sinB（sin²A+cos²A）=$\sqrt{2}$sinA，
∴sinB=$\sqrt{2}$sinA，
由正弦定理得：b=$\sqrt{2}$a，
由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2{a}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{2}ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2\sqrt{2}ac}$≥$\frac{2ac}{2\sqrt{2}ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵A為三角形ABC的內角，且y=cosx在（0，π）上是減函數，
∴0＜A≤$\frac{π}{4}$，
則A的取值范圍是：（0，$\frac{π}{4}$]．
故答案為：（0，$\frac{π}{4}$]．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數間的基本關系，基本不等式，以及余弦函數的單調性，熟練掌握定理是解本題的關鍵，屬于基礎題．