Question

11．函數sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{1，x＞0}\end{array}\right.$叫做符號函數，則不等式x+（x+2）sgn（x+1）≤4的解集為（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-1，1）
• C． （-1，1]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 當x＜-1時，x+1＜0，不等式可化為-2≤4，恒成立；當x=-1時，x+1=0，不等式可化為-1≤4，恒成立；當x＞-1時，x+1＞0，不等式可化為2x+2≤4，解得x≤1．由此能求出不等式x+（x+2）sgn（x+1）≤4的解集．

解答 解：∵函數sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{1，x＞0}\end{array}\right.$叫做符號函數，
不等式x+（x+2）sgn（x+1）≤4，
∴當x＜-1時，x+1＜0，不等式可化為-2≤4，恒成立；
當x=-1時，x+1=0，不等式可化為-1≤4，恒成立；
當x＞-1時，x+1＞0，不等式可化為2x+2≤4，解得x≤1，
所以此時-1＜x≤1．
綜上不等式x+（x+2）sgn（x+1）≤4的解集為{x|x≤1}=（-∞，1]．
故選：A．

點評 本題考查不等式的解集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．