Question

15．設函數f（x）=|x+1|-|x-2|
（I）若不等式f（x）≤a的解集為（-∞，$\frac{1}{2}$]．求a的值；
（II）若?x∈R．使f（x）＜m²-4m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x＜-1}\\{2x-1，-1≤x≤2}\\{3，x≥2}\end{array}\right.$，作出函數的圖象，利用不等式f（x）≤a的解集為（-∞，$\frac{1}{2}$]．求a的值；
（II）若?x∈R．使f（x）＜m²-4m，問題等價于-3＜m²-4m，即可求m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x＜-1}\\{2x-1，-1≤x≤2}\\{3，x≥2}\end{array}\right.$，其圖象如下：…（3分）
當x=$\frac{1}{2}$時，f（x）=0．

當x＜$\frac{1}{2}$時，f（x）＜0；當x＞$\frac{1}{2}$時，f（x）＞0．
所以a=0．…（6分）
（Ⅱ）f（x）＜m²-4m．
因為f（x）的最小值為-3，
所以問題等價于-3＜m²-4m．
解得m＜1，或m＞3．-------------------------（10分）

點評 本題考查絕對值不等式，考查存在性問題，正確轉化是個關鍵．