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10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=4${\;}^{{a}_{n}}$,求證:$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}$+..+$\frac{1}{{b}_{n}}$<$\frac{1}{2}$.

分析 (Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,即可得出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,
(Ⅱ)bn=4${\;}^{{a}_{n}}$=2n+1,根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和放縮法即可證明.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$-$\frac{(n-1)^{2}+3(n-1)}{4}$=$\frac{n+1}{2}$,
當(dāng)n=1時(shí),上式也成立,
∴an═$\frac{n+1}{2}$,
(Ⅱ)證明:bn=4${\;}^{{a}_{n}}$=2n+1
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$,
∴$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}$+..+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}(1-\frac{1}{{2}^{n}})}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{{2}^{n}}$)<$\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的求和公式和放縮法證明不等式成立,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.平面向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$共線的充要條件是(  )
A.$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$方向相同
B.$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$兩向量中至少有一個(gè)為零向量
C.?λ∈R,$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$
D.存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1,λ2,λ1$\overrightarrow{a}$+λ2$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

1.已知奇函數(shù)f(x)=$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的定義域?yàn)閇-a-2,b]
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義給出證明;
(3)若實(shí)數(shù)m滿足f(m-1)<f(1-2m),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

18.2016年11月21日是附中建校76周年校慶日,為了了解在校同學(xué)們對(duì)附中的看法,學(xué)校進(jìn)行了調(diào)查,從全校所有班級(jí)中任選三個(gè)班,統(tǒng)計(jì)同學(xué)們對(duì)附中的看法,情況如下表:
對(duì)附中的看法非常好,附中推行素質(zhì)教育,身心得以全面發(fā)展很好,我的高中生活很快樂(lè)很充實(shí)
A班人數(shù)比例$\frac{3}{4}$$\frac{1}{4}$
B班人數(shù)比例$\frac{2}{3}$$\frac{1}{3}$
C班人數(shù)比例$\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$
(1)從這三個(gè)班中各選一位同學(xué),求恰好有2人認(rèn)為附中“非常好”的概率(用比例作為相應(yīng)概率);
(2)若在B班按所持態(tài)度分層抽樣,抽取9人,再?gòu)倪@9人中任意選取3人,記認(rèn)為附中“非常好”的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-$\frac{1}{2}$n2+kn(k∈N*),且Sn的最大值為8.
(1)求常數(shù)k的值,并求an
(2)對(duì)任意m∈N*,將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(-4m,-2m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,若cm=$\frac{{a}_{m}•{b}_{m}}{{2}^{m}}$,求數(shù)列{cn}的前m項(xiàng)和Tm

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

15.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|
(I)若不等式f(x)≤a的解集為(-∞,$\frac{1}{2}$].求a的值;
(II)若?x∈R.使f(x)<m2-4m,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

2.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2-|x|},{x≤2}\\{(x-2)^{2}},{x>2}\end{array}\right.$,函數(shù)g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函數(shù)y=f(x)-g(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則b的取值范圍是2<b,b=$\frac{7}{4}$.

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19.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的有幾個(gè)(  )
①$y=\frac{{{a^x}+1}}{{{a^x}-1}}$;
②$y=\frac{{lg({1-{x^2}})}}{{|{x+3}|-3}}$;
③y=ln|x-1|;
④$y={log_a}\frac{1+x}{1-x}$.
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.?dāng)?shù)列{an}滿足a1+2a2+…+nan=4-$\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$,n∈N*
(1)求a3的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)${b_n}=1+{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$,求證:$\frac{1}{b_1^2}+\frac{1}{b_2^2}+…+\frac{1}{b_n^2}<\frac{7}{4}$.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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