Question

10．已知函數f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利二倍角和輔助角公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期．
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{2π}{3}$]上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x，
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
函數的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{2π}{3}$]上時，
2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
當2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$時，函數f（x）的取值最小值為-1，
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）的取值最大值為2，
故得函數f（x）在區間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍是[-1，2]．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．