Question

7．已知正四棱錐的側棱與底面成60°角，則此四棱錐的底邊與不相鄰的側棱所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設正四棱錐的底面邊長為a，可得AC=$\sqrt{2}a$，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，再由側棱與底面成60°角，求得側棱長，解直角三角形可得四棱錐的底邊與不相鄰的側棱所成角的余弦值．

解答 解：如圖，設正四棱錐的底面邊長為a，則AC=$\sqrt{2}a$，
∴AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，又側棱與底面成60°角，∴PA=$\sqrt{2}a$，PB=$\sqrt{2}a$，
在△PAB中，由$PA=PB=\sqrt{2}a$，AB=a，
可得cos∠PAB=$\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴四棱錐的底邊與不相鄰的側棱所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查異面直線所成角，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．