Question

17．已知拋物線C的方程x²=2px，M（2，1）為拋物線C上一點，F為拋物線的焦點．
（ I）求|MF|；
（ II）設直線l₂：y=kx+m與拋物線C有唯一公共點P，且與直線l₁：y=-1相交于點Q，試問，在坐標平面內是否存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N？若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）求得p=2，根據拋物線的定義，即可得到所求|MF|；
（II）假設存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，由直線l₂：y=kx+m與拋物線C有唯一公共點P知，直線l₂與拋物線C相切，利用導數求出直線l₂的方程，進而求出Q點坐標，根據直徑所對的圓周角為直角，利用$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=0，求出N點坐標．

解答 解：（I）由題可知2p=4，即p=2，由拋物線的定義可知|MF|=1+1=2…（4分）
（II）由拋物線C關于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，
則點N必在y軸上，設N（0，n），
又設點P（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），
由直線l₂：y=kx+m與拋物線C有唯一公共點P知，直線l與拋物線C相切，
由y=$\frac{1}{4}$x²得y′=$\frac{1}{2}$x，可得直線l₂的斜率為$\frac{1}{2}$x₀，
可得直線l的方程為y-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$x₀（x-x₀），
令y=-1得x=$\frac{1}{2}$x₀-$\frac{2}{{x}_{0}}$，
可得Q點的坐標為（$\frac{1}{2}$x₀-$\frac{2}{{x}_{0}}$，-1），
即有$\overrightarrow{NP}$=（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-n），$\overrightarrow{NQ}$=（$\frac{1}{2}$x₀-$\frac{2}{{x}_{0}}$，-1-n），
由點N在以PQ為直徑的圓上，
可得$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{NQ}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$-（1+n）（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-n）=（1-n）•$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+n²+n-2=0，（*）
要使方程（*）對x₀恒成立，必須有$\left\{\begin{array}{l}{1-n=0}\\{{n}^{2}+n-2=0}\end{array}\right.$，解得n=1，
則在坐標平面內存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，其坐標為（0，1）．…（12分）

點評 本題考查了拋物線的定義及直線與拋物線的位置關系，這類題目考查比較靈活，解決問題時注意幾何關系向代數關系（即坐標關系）的轉化．