Question

6．已知函數f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區間$[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性得出結論．
（2）利用定義域和值域求得f（x）在區間$[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+cos²x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
∴函數f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由（1）的計算結果知，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
當x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，
由正弦函數y=sin t在$[{\frac{3}{4}π，\frac{3}{2}π}]$單調遞減，在$[{\frac{3}{2}π，\frac{7}{4}π}]$上單調遞減．
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，即x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取最大值2；
當2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，即x=$\frac{5π}{8}$時，f（x）取最小值-$\sqrt{2}$+1．
綜上，f（x）在區間$[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上的最大值為2，最小值為-$\sqrt{2}$+1．

點評 本題主要考查三角恒等變換、正弦函數的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．