Question

16．下列函數中，奇函數的個數是（　　）
①f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$，②g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），③h（x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x），④m（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據各個函數的解析式先求出定義域，由對數、指數的運算分別化簡后，根據函數奇偶性的定義進行判斷．

解答 解：①、由$\frac{1-x}{1+x}＞0$得（1-x）（1+x）＞0，解得-1＜x＜1，
則函數f（x）的定義域是（-1，1），
且f（-x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$=-ln$\frac{1-x}{1+x}$=-f（-x），所以函數f（x）是奇函數；
②、函數g（x）的定義域是R，
且g（-x）=$\frac{1}{2}$（e^-x+e^x）=g（x），則函數g（x）是偶函數；
③、因$\sqrt{1+{x}^{2}}-x＞0$恒成立，所以函數h（x）的定義域是R，
且h（-x）=lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}+x$）=lg$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}-x}$=-lg（$\sqrt{1+{x}^{2}}$-x）=-h（x），
所以函數h（x）是奇函數；
④、由2^x-1≠0得x≠0，函數h（x）的定義域是{x|x≠0}，
且m（-x）=$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$$+\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{{1-2}^{x}}+\frac{1}{2}$=$\frac{{-2}^{x}}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}$
=$\frac{{-（2}^{x}-1）-1}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{{2}^{x}-1}$-$\frac{1}{2}$=-m（x），
所以函數m（x）是奇函數，
綜上可得，奇函數為①③④，共3個，
故選C．

點評 本題主要考查函數奇偶性的判斷，對數、指數的運算，以及函數的定義域，根據函數奇偶性的定義以及定義域的對稱性是解決本題的關鍵，考查化簡、變形能力．