Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n）恒在函數(shù)y=$\frac{3}{2}{x^2}+\frac{3}{2}$x的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記T_n=$\frac{{{a_n}•{a_{n+1}}}}{2^n}$，若對(duì)于一切的正整數(shù)n，總有T_n≤m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)K_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，其中b_n=2^a_n，問是否存在正整數(shù)n，t，使$\frac{{{K_n}-t{b_n}}}{{{K_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$成立？若存在，求出正整數(shù)n，t；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1求解；（2）要使T_n≤m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，只需m≥{T_n}中的最大值即可；（3）求解有關(guān)正整數(shù)n的不等式．

解答 解：（1）由已知，得${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n$…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-[\frac{3}{2}{（n-1）^2}+\frac{3}{2}（n-1）]$=3n…（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3．∴a_n=3n…（3分）
（2）解法一：${T_n}=\frac{9n（n+1）}{2^n}⇒$${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{9（n+1）（n+2）}{{{2^{n+1}}}}-\frac{9n（n+1）}{2^n}=\frac{9（n+1）（2-n）}{{{2^{n+1}}}}$．（4分）
當(dāng)n=1時(shí)，T_n+1＞T_n，即T₂＞T₁；當(dāng)n=2時(shí)，T_n+1=T_n，即T₃=T₂；
當(dāng)n≥3時(shí)，T_n+1＜T_n，即T_n＜T_n-1＜…＜T₄＜T₃…（6分）
∴{T_n}中的最大值為${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$，
要使T_n≤m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，只需$\frac{27}{2}≤m$∴$m≥\frac{27}{2}$…（7分）
解法二：${T_n}=\frac{{{a_n}•{a_{n+1}}}}{2^n}=\frac{9n（n+1）}{2^n}$$⇒\frac{{{T_{n+1}}}}{T_n}=\frac{{\frac{9（n+1）（n+2）}{{{2^{n+1}}}}}}{{\frac{9n（n+1）}{2^n}}}=\frac{n+2}{2n}$…（4分）
當(dāng)n=1，2時(shí)，T_n+1≥T_n；當(dāng)n≥3時(shí)，n+2＜2n⇒T_n+1＜T_n
∴n=1時(shí)，T₁=9；n=2，3時(shí)，${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$n≥4時(shí)，T_n＜T₃…（6分）
∴{T_n}中的最大值為${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$，
要使T_n≤m對(duì)于一切的正整數(shù)n恒成立，只需$\frac{27}{2}≤m$∴$m≥\frac{27}{2}$…（7分）
（3）${b_n}={2^{a_n}}={2^{3n}}=8{\;}^n⇒{K_n}=\frac{{8（1-{8^n}）}}{1-8}=\frac{8}{7}（8{\;}^n-1）$…（8分）
將K_n代入$\frac{{{K_n}-t{b_n}}}{{{K_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，化簡得，$\frac{{（{\frac{8}{7}-t}）{8^n}-\frac{8}{7}}}{{（{\frac{8}{7}-t}）{8^n}-\frac{1}{7}}}＜\frac{1}{2}$（﹡）…（9分）
若t=1時(shí)，$\frac{{\frac{8^n}{7}-\frac{8}{7}}}{{\frac{8^n}{7}-\frac{1}{7}}}＜\frac{1}{2}，即\frac{8^n}{7}＜\frac{15}{7}$，顯然n=1時(shí)成立； …（10分）
若t＞1時(shí)，$（{\frac{8}{7}-t}）{8^n}-\frac{1}{7}＜0$（﹡）式化簡為$（{\frac{8}{7}-t}）{8^n}＞\frac{15}{7}$不可能成立 …（11分）
綜上，存在正整數(shù)n=1，t=1使$\frac{{{K_n}-t{b_n}}}{{{K_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$成立 …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考察了數(shù)列中a_n和s_n的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，數(shù)列中恒成立問題的處理方法，屬于難題．