Question

3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P為線段AD（含端點）上一個動點，設$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}=y$，則得到函數y=f（x）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）對于任意a∈（0，+∞），求函數f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）畫出圖形，建立直角坐標系，即得y=f（x）的解析式，代值計算即可
（Ⅱ）通過分類討論，利用二次函數的單調性即可判斷出．

解答 解：（1）如圖所示，建立直角坐標系．
∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），
∴B（0，0），A（-2，0），D（-1，a），C（0，a）．
∵$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AD}$，（0≤x≤1）．
∴$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BA}$+x$\overrightarrow{AD}$=（-2，0）+x（1，a）=（x-2，xa），
∴$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BP}$=（0，a）-（x-2，xa）=（2-x，a-xa）
∴y=f（x）=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=（2-x，-xa）•（2-x，a-xa）
=（2-x）²-ax（a-xa）
=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
∴f（1）=a²+1-（4+a²）+4=1
（Ⅱ）由y=f（x）=（a²+1）x²-（4+a²）x+4．
可知：對稱軸x₀=$\frac{4+{a}^{2}}{2（{a}^{2}+1）}$．
當0＜a≤$\sqrt{2}$時，1＜x₀，∴函數f（x）在[0，1]單調遞減，因此當x=0時，函數f（x）取得最大值4．
當a＞$\sqrt{2}$時，0＜x₀＜1，函數f（x）在[0，x₀）單調遞減，在（x₀，1]上單調遞增．
又f（0）=4，f（1）=1，
∴f（x）_max=f（0）=4．
綜上所述函數f（x）的最大值為4

點評 本題考查了數量積運算、分類討論、二次函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．