Question

11．已知曲線${C_1}：{y^2}=tx（y＞0，t＞0）$在點$M（\frac{4}{t}，2）$處的切線${C_2}：y={e^{x+1}}+1$與曲線也相切，則t的值為（　　）

• A． 4e
• B． 4e²
• C． $\frac{e^2}{4}$
• D． $\frac{e}{4}$

Answer 1

分析 求出y=$\sqrt{tx}$的導數，求出斜率，由點斜式方程可得切線的方程，設直線與C₂的切點為（m，n），求出y=e^x+1+1的導數，可得切線的斜率，得到t的方程，解方程可得答案．

解答 解：由曲線C₁：y²=tx（y＞0，t＞0），得y=$\sqrt{tx}$，
y′=$\sqrt{t}•\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∴C₁在點$M（\frac{4}{t}，2）$處的切線斜率為$\sqrt{t}•\frac{1}{2\sqrt{\frac{4}{t}}}=\frac{t}{4}$，
可得切線方程為y-2=$\frac{t}{4}$（x-$\frac{4}{t}$），即y=$\frac{t}{4}$x+1，
設直線與C₂的切點為（m，n），由C₂：y=e^x+1+1，
得y′=e^x+1，∴e^m+1=$\frac{t}{4}$，
∴m=ln$\frac{t}{4}$-1，n=m•$\frac{t}{4}$+1，n=e^m+1+1，
可得（ln$\frac{t}{4}$-1）•$\frac{t}{4}$+1=$\frac{t}{4}$+1，
得t=4e²，
故選：B．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查導數的幾何意義，正確求導和運用點斜式方程是解題的關鍵，注意轉化思想的合理運用，是中檔題．