Question

16．某企業擬生產一種如圖所示的圓柱形易拉罐（上下底面及側面的厚度不計）．易拉罐的體積為162πml，設圓柱的高度為hcm，底面半徑為rcm，且h≥6r．假設該易拉罐的制造費用僅與其表面積有關．已知易拉罐側面制造費用為m元/cm²，易拉罐上下底面的制造費用均為n元/cm²（m，n為常數，且0＜3m＜n）．
（1）寫出易拉罐的制造費用y（元）關于r（cm）的函數表達式，并求其定義域；
（2）求易拉罐制造費用最低時r（cm）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，體積V=πr²h，得$h=\frac{V}{{π{r^2}}}=\frac{162}{r^2}$．y=2πrh×m+2πr²×n．由h≥6r，可得所求函數定義域．
（2）令$f（r）=\frac{162m}{r}+n{r^2}$，則$f'（r）=\frac{162m}{r^2}+2nr$．由f'（r）=0，解得$r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$．當n＞2m時，$3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}∈（0，3]$，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）由題意，體積V=πr²h，得$h=\frac{V}{{π{r^2}}}=\frac{162}{r^2}$．
y=2πrh×m+2πr²×n=$2π（\frac{162m}{r}+n{r^2}）$．
因為h≥6r，即r≤3，即所求函數定義域為（0，3]．
（2）令$f（r）=\frac{162m}{r}+n{r^2}$，則$f'（r）=\frac{162m}{r^2}+2nr$．
由f'（r）=0，解得$r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$．
當n＞2m時，$3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}∈（0，3]$，由，

r	$（0，3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}）$	$3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$	$（3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}，3）$
f'（r）	-	0	+
f（r）	減		增

得，當$r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$時，f（r）有最小值，此時易拉罐制造費用最低．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、方程與不等式的解法、圓柱的體積與表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．