Question

2．設等差數列{a_n}滿足（1-a₁₀₀₈）⁵+2016（1-a₁₀₀₈）=1，（1-a₁₀₀₉）⁵+2016（1-a₁₀₀₉）=-1，數列{a_n}的前n項和記為S_n，則（　　）

• A． S₂₀₁₆=2016，a₁₀₀₈＞a₁₀₀₉
• B． S₂₀₁₆=-2016，a₁₀₀₈＞a₁₀₀₉
• C． S₂₀₁₆=2016，a₁₀₀₈＜a₁₀₀₉
• D． S₂₀₁₆=-2016，a₁₀₀₈＜a₁₀₀₉

Answer 1

分析 （1-a₁₀₀₉）⁵+2016（1-a₁₀₀₉）=-1，變為：（-1+a₁₀₀₉）⁵+2016（-1+a₁₀₀₉）=1，令f（x）=x⁵+2016x-1，f′（x）=5x⁴+2016＞0，因此方程f（x）=0最多有一個實數根．由f（0）＜0，f（1）＞0，因此f（x）=0有一個實數根x₀∈（0，1）．再利用等差數列的通項公式、求和公式及其性質即可得出．

解答 解：（1-a₁₀₀₉）⁵+2016（1-a₁₀₀₉）=-1，變為：（-1+a₁₀₀₉）⁵+2016（-1+a₁₀₀₉）=1，
令f（x）=x⁵+2016x-1，f′（x）=5x⁴+2016＞0，因此方程f（x）=0最多有一個實數根．
∵f（0）=-1＜0，f（1）=2016＞0，
因此f（x）=0有一個實數根x₀∈（0，1）．
∴1-a₁₀₀₈=a₁₀₀₉-1＞0，
可得a₁₀₀₈+a₁₀₀₉=2，a₁₀₀₈＜1＜a₁₀₀₉．
S₂₀₁₆=$\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}$=$\frac{2016（{a}_{1008}+{a}_{1009}）}{2}$=2016．
故選：C．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、求和公式及其性質、利用導數研究函數的單調性、函數的零點，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．