Question

12．某印刷廠為了研究印刷單冊書籍的成本y（單位：元）與印刷冊數x（單位：千冊）之間的關系，在印制某種書籍時進行了統計，相關數據見下表：

印刷冊數x（千冊）	2	3	4	5	8
單冊成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根據以上數據，技術人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲：${\hat y^{（1）}}=\frac{4}{x}+1.1$，方程乙：${\hat y^{（2）}}=\frac{6.4}{x^2}+1.6$．
（I）為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務．
①完成下表（計算結果精確到0.1）；

印刷冊數x（千冊）		2	3	4	5	8
單冊成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計值${\hat y_i}^{（1）}$		2.4	2.1		1.6
	殘差${\hat e_i}^{（1）}$		0	-0.1		0.1
模型乙	估計值${\hat y_i}^{（2）}$		2.3	2	1.9
	殘差${\hat e_i}^{（2）}$		0.1	0	0

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q₁及Q₂，并比較Q₁，Q₂的大小，判斷哪個模型擬合效果更好．
（II）該書上市之后，受到廣大讀者熱烈歡迎，不久便全部售罄，于是印刷廠決定進行二次印刷．根據市場調查，新需求量為8千冊（概率0.7）或16千冊（概率0.3），若印刷廠以每冊5元的價格將書籍出售給訂貨商，估計印刷廠二次印刷8千冊還是16千冊能獲得更多利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計算印刷單冊書的成本）

Answer 1

分析 （Ⅰ）①計算對應的數值，填表即可；②計算模型甲、模型乙的殘差平方和，比較即可得出結論；
（Ⅱ）計算二次印刷時的成本，求出對應利潤值即可．

解答 解：（Ⅰ）①經計算，可得下表：

印刷冊數x（千冊）		2	3	4	5	8
單冊成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計值${\hat y_i}^{（1）}$	3.1	2.4	2.1	1.9	1.6
	殘差${\hat e_i}^{（1）}$	0.1	0	-0.1	0	0.1
模型乙	估計值${\hat y_i}^{（2）}$	3.2	2.3	2	1.9	1.7
	殘差${\hat e_i}^{（2）}$	0	0.1	0	0	0

②計算模型甲的殘差平方和為Q₁=0.1²+（-0.1）²+0.1²=0.03，
模型乙的殘差平方和為Q₂=0.1²=0.01，
∴Q₁＞Q₂，模型乙的擬合效果更好；
（Ⅱ）若二次印刷8千冊，則估計印刷廠獲利為（5-1.7）×8000×0.7=18480（元），
若二次印刷16千冊，由（1）可知，單冊書印刷成本為$\frac{6.4}{{{{16}^2}}}+1.6=1.625$（元），
則估計印刷廠獲利為（5-1.625）×16000×0.3=16200（元），
又∵18480＞16200，
故印刷8千冊對印刷廠更有利．

點評 本題考查了殘差平方和模擬模型擬合效果的應用問題，也考查了成本與利潤的應用問題，是綜合題．