Question

6．已知函數f（x）=（x-t）|x|（t∈R），若存在t∈（0，2），對于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $a≤-\frac{1}{4}$
• B． a≤0
• C． $a≤\frac{1}{4}$
• D． a≤2

Answer 1

分析 寫出分段函數解析式，構造函數g（x）=f（x）-x，分類求其值域，把存在t∈（0，2），對于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，轉化為存在t∈（0，2），使得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{（t+1）^{2}}{4}＞a}\\{-t＞a}\end{array}\right.$，則答案可求．

解答 解：f（x）=（x-t）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+tx，-1≤x≤0}\\{{x}^{2}-tx，0＜x≤2}\end{array}\right.$，
令g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（t-1）x，-1≤x≤0}\\{{x}^{2}-（t+1）x，0＜x≤2}\end{array}\right.$．
當x∈[-1，0]時，g（x）的最小值為g（-1）=-t；
當x∈（0，2]時，∵$\frac{t+1}{2}$∈（0，2），
∴g（x）的最小值為g（$\frac{t+1}{2}$）=$-\frac{（t+1）^{2}}{4}$．
∴若存在t∈（0，2），對于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，
故只需存在t∈（0，2），使得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{（t+1）^{2}}{4}＞a}\\{-t＞a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤-\frac{1}{4}}\\{a≤0}\end{array}\right.$，
∴實數a的取值范圍是a$≤-\frac{1}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，理解題意是關鍵，屬難題．