Question

2．若函數f（x）=4^x+a•2^x+a+1在R上存在零點，則實數a的取值范圍為（-∞，2-2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 設2^x=t，則t²+at+a+1=0在（0，+∞）上有解，分離參數得-a=$\frac{{t}^{2}+1}{t+1}$，利用不等式求出函數的最值即可得出a的范圍．

解答 解：設2^x=t，t²+at+a+1=0在（0，+∞）上有解，
分離參數得：-a=$\frac{{t}^{2}+1}{t+1}$=t+1+$\frac{2}{t+1}$-2≥2$\sqrt{2}$-2，
當且僅當t+1=$\frac{2}{t+1}$即t=$\sqrt{2}$-1時取等號，
∴a≤2-2$\sqrt{2}$，
故答案為：（-∞，2-2$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了函數零點與函數最值的關系，函數最值的計算，屬于中檔題．