Question

14．設f（x）=cos²x+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$（0≤x≤$\frac{π}{2}$），其中a＞0．
（1）用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）當M（a）=2時，求a的值．

Answer 1

分析 （1）化f（x）為sinx的二次函數，設sinx=t，則函數g（t）是開口向下，
對稱軸為t=$\frac{a}{2}$的拋物線，根據二次函數的性質，對a討論求出函數最大值；
（2）由M（a）=2求出對應的a值即可．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$
=（1-sin²x）+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$
=-sin²x+asinx+$\frac{2-a}{4}$，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴0≤sinx≤1；
設sinx=t，則
g（t）=-t²+at+$\frac{2-a}{4}$，t∈[0，1]；
∴f（x）的最大值為
M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}a-\frac{1}{2}，a≥2}\\{{\frac{1}{4}a}^{2}-\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}，0＜a＜2}\end{array}\right.$；
（2）當M（a）=2時，
若a≥2，則$\frac{3}{4}$a-$\frac{1}{2}$=2，解得a=$\frac{10}{3}$；
若0＜a＜2，則$\frac{1}{4}$a²-$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$=2，
解得a=-2或a=3，不合題意，舍去；
綜上，a的值是$\frac{10}{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用和二次函數的性質問題，是中檔題．