Question

6．已知函數f（x）=x²+1，g（x）=2alnx+1（a∈R）
（1）求函數h（x）=f（x）-g（x）的極值；
（2）當a=e時，是否存在實數k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立？若存在，請求實數k，m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導，分類討論，根據導數與函數單調性的關系，根據函數的單調性即可求得h（x）極值；
（2）當a=e時，由f（x）-g（x）≥0，當且僅當x=$\sqrt{e}$時，取等號，由f′（$\sqrt{e}$）=g′（$\sqrt{e}$），則x=$\sqrt{e}$時，y=f（x）與y=g（x）有公切線，切線方程y=2$\sqrt{e}$x+1-e，即可求得實數k，m的值．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=x²-2alnx，x＞0，
h′（x）=$\frac{2（{x}^{2}-a）}{x}$，
當a≤0，h′（x）＞0，則h（x）在（0，+∞）上單調遞增，無極值，
當a＞0時，h′（x）＞0，即x²-a＞0，解得：a＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$，（舍去）
h′（x）＜0，即x²-a＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴h（x）在（0，$\sqrt{a}$）單調遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）單調遞增，
∴h（x）的極小值為h（$\sqrt{a}$）=a-2aln$\sqrt{a}$=a-alna，無極大值；
（2）當a=e時，h（$\sqrt{a}$）=h（$\sqrt{e}$）=e-elne=0，此時h（x）=f（x）-g（x）=0，
∴f（x）-g（x）≥0，當且僅當x=$\sqrt{e}$時，取等號；
f′（x）=2x，f′（$\sqrt{e}$）=2$\sqrt{e}$，g′（x）=$\frac{2e}{x}$，g′（$\sqrt{e}$）=2$\sqrt{e}$，
∴f′（$\sqrt{e}$）=g′（$\sqrt{e}$），
且在x=$\sqrt{e}$處f（$\sqrt{e}$）=g（$\sqrt{e}$）=e+1，
即x=$\sqrt{e}$時，y=f（x）與y=g（x）有公切線，切線方程y=2$\sqrt{e}$x+1-e，
此時g（x）=2$\sqrt{e}$x+1-e=f（x），滿足g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，
解得：k=2$\sqrt{e}$，m=1-e，
實數k，m的值分別為2$\sqrt{e}$，1-e．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查利用導數的求函數的單調性及最值，考查利用導數求曲線的切線方程，考查計算能力，屬于中檔題．