Question

16．設A是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右頂點，F（c，0）是右焦點，若拋物線${y^2}=-\frac{{4{a^2}}}{c}x$的準線l上存在一點P，使∠APF=30°，則雙曲線的離心率的范圍是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （1，2]
• C． （1，3]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 求出拋物線的準線l的方程，設l與x軸的交點為H，設P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，h），h＞0，運用直角三角形的正切函數的定義和兩角差的正切公式，結合基本不等式，化簡整理，運用離心率公式可得3e²-4e-4≥0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：拋物線${y^2}=-\frac{{4{a^2}}}{c}x$的準線l為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右頂點A（a，0），
F（c，0）是右焦點，
設l與x軸的交點為H，設P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，h），h＞0，
在直角三角形PHA中，可得tan∠APH=$\frac{AH}{PH}$=$\frac{a-\frac{{a}^{2}}{c}}{h}$，
在直角三角形PHF中，可得tan∠FPH=$\frac{FH}{PH}$=$\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}}{h}$，
即有tan∠APF=tan（∠FPH-∠APH）
=$\frac{\frac{c-\frac{{a}^{2}}{c}}{h}-\frac{a-\frac{{a}^{2}}{c}}{h}}{1+\frac{（c-\frac{{a}^{2}}{c}）（a-\frac{{a}^{2}}{c}）}{{h}^{2}}}$=$\frac{c-a}{h+\frac{（c-\frac{{a}^{2}}{c}）（a-\frac{{a}^{2}}{c}）}{h}}$≤$\frac{c-a}{2\sqrt{（c-\frac{{a}^{2}}{c}）（a-\frac{{a}^{2}}{c}）}}$，
即為tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{c-a}{2\sqrt{（c-\frac{{a}^{2}}{c}）（a-\frac{{a}^{2}}{c}）}}$，
化簡可得3c²≥4ac+4a²，
由e=$\frac{c}{a}$可得3e²-4e-4≥0，
解得e≥2或e≤-$\frac{2}{3}$（舍去），
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用雙曲線的性質和基本不等式，以及兩角差的正切公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．