Question

11．若m=${∫}_{-1}^{1}$（6x²+tanx）dx，且（2x+$\sqrt{3}$）^m=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_mx^m，則（a₀+a₂+…+a_m）²-（a₁+..+a_m-1）²的值為1．

Answer 1

分析 m=${∫}_{-1}^{1}$（6x²+tanx）dx=$（2{x}^{3}）{|}_{-1}^{1}$+${∫}_{-1}^{1}tanxdx$=4，可得$（2x+\sqrt{3}）^{4}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+${a}_{4}{x}^{4}$，分別令x=1，x=-1，即可得出．

解答 解：m=${∫}_{-1}^{1}$（6x²+tanx）dx=$（2{x}^{3}）{|}_{-1}^{1}$+${∫}_{-1}^{1}tanxdx$=4，
∴$（2x+\sqrt{3}）^{4}$=a₀+a₁x+a₂x²+…+${a}_{4}{x}^{4}$，
令x=1，則a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=$（2+\sqrt{3}）^{4}$，
令x=-1，則a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=$（2-\sqrt{3}）^{4}$，
則（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄）=$（2+\sqrt{3}）^{4}$$（2-\sqrt{3}）^{4}$=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了微積分基本定理、二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．