Question

11．已知函數(shù)f（x）=4e^x（x+1）-k（$\frac{2}{3}$x³+2x²），若x=-2是函數(shù)f（x）的唯一一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （-2e，e]
• B． [0，2e]
• C． （-∞，-e）∪[e，2e]
• D． （-∞，-e）∪[0，e]

Answer 1

分析 求導(dǎo)，f′（x）=4（x+2）（e^x-$\frac{k}{2}$x），由x=-2是函數(shù)f（x）的唯一一個(gè)極值點(diǎn)，則g（x）=e^x-$\frac{k}{2}$x≥0，符合題意，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得0≤$\frac{k}{2}$≤e，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：由f′（x）=4e^x（x+1）+4e^x-k（2x²+4x）
=4e^x（x+2）-2kx（x+2）=4（x+2）（e^x-$\frac{k}{2}$x），
由x=-2是函數(shù)f（x）的唯一一個(gè)極值點(diǎn)，
畫出y=e^x，y=$\frac{k}{2}$x圖象，由g（x）=e^x-$\frac{k}{2}$x≥0，符合題意，
則y=e^x，過原點(diǎn)的切線斜率為e，只需要0≤$\frac{k}{2}$≤e，
∴0≤k≤2e，
數(shù)k的取值范圍[0，2e]，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．