Question

12．若曲線$C：y=cosx（{x∈（{0，\frac{π}{2}}]}）$上一點P（x₀，cosx₀）處的切線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，則當$OA+\frac{1}{OB}$取得最小值時，OB的值為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 求出切線方程，得到B的坐標，根據不等式的性質求出OB的值即可．

解答 解：切點P的坐標是（x₀，cosx₀），（x₀∈（0，$\frac{π}{2}$]），
則切線的斜率是-sinx₀，
故切線AB的方程是：y-cosx₀=-sinx₀（x-x₀），
故B（0，cosx₀+x₀sinx₀），A（$\frac{co{sx}_{0}}{si{nx}_{0}}$+x₀，0）
故|OB|=cosx₀+x₀sinx₀，OA=$\frac{co{sx}_{0}}{si{nx}_{0}}$+x₀，即$\frac{OB}{OA}$=sinx₀，
故OA+$\frac{1}{OB}$$≥\sqrt{OA•\frac{1}{OB}}$=2$\sqrt{\frac{1}{si{nx}_{0}}}$，
當x∈（0，$\frac{π}{2}$]時，2$\sqrt{\frac{1}{si{nx}_{0}}}$≥2，
當且僅當x₀=$\frac{π}{2}$時取“=”，
故OB=cos$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$sin$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查不等式的性質，是一道中檔題．