Question

17．已知函數f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-m．
（1）求函數f（x）的最小正周期與單調遞增區間；
（2）若x∈[$\frac{5π}{24}$，$\frac{3π}{4}$]時，函數f（x）的最大值為0，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x），求出f（x）在最小正周期，解不等式，求出函數的遞增區間即可；
（2）根據x的范圍，求出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，得到關于m的方程，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-m
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$-m
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-m-$\frac{1}{2}$，
則函數f（x）的最小正周期T=π，
根據-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
所以函數f（x）的單調遞增區間為[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z；
（2）因為x∈[$\frac{5π}{24}$，$\frac{3π}{4}$]，所以2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{4π}{3}$]，
則當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時，函數取得最大值0，
即1-m-$\frac{1}{2}$=0，解得：m=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了三角函數的周期和函數的單調區間，考查函數的最值問題，是一道中檔題．