Question

19．若向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow a-4\overrightarrow b}|=2\sqrt{7}$，則向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 把已知向量等式兩邊平方，代入數量積公式可求夾角．

解答 解：設向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為θ，
∵$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow a-4\overrightarrow b}|=2\sqrt{7}$，
∴$|\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16{\overrightarrow{b}}^{2}$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-8|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ+16|\overrightarrow{b}{|}^{2}=28$．
則4-8×2×1cosθ+16×1=28，解得cosθ=$-\frac{1}{2}$．
∴θ=$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查由數量積求向量的夾角，是中檔題．