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19.若向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=2,|{\overrightarrow b}|=1,|{\overrightarrow a-4\overrightarrow b}|=2\sqrt{7}$,則向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$.

分析 把已知向量等式兩邊平方,代入數量積公式可求夾角.

解答 解:設向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夾角為θ,
∵$|{\overrightarrow a}|=2,|{\overrightarrow b}|=1,|{\overrightarrow a-4\overrightarrow b}|=2\sqrt{7}$,
∴$|\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}{|}^{2}=(\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b})^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-8\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16{\overrightarrow{b}}^{2}$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-8|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ+16|\overrightarrow{b}{|}^{2}=28$.
則4-8×2×1cosθ+16×1=28,解得cosθ=$-\frac{1}{2}$.
∴θ=$\frac{2π}{3}$.
故答案為:$\frac{2π}{3}$.

點評 本題考查平面向量的數量積運算,考查由數量積求向量的夾角,是中檔題.

練習冊系列答案
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