Question

4．拋物線y²=2x與直線y=x-4圍成的平面圖形面積（　　）

• A． 18
• B． 16
• C． 20
• D． 14

Answer 1

分析 方法一：根據題目信息，作出圖形，如圖所示：聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=4}\end{array}\right.$，則所求的面積為S=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{2x}$dx+${∫}_{2}^{8}$（$\sqrt{2x}$-x+4）dx，求出原函數，即可求得平面區域的面積，方法二：對y進行積分，所求的面積為S=${∫}_{-2}^{4}$（y+4-$\frac{{y}^{2}}{2}$）dy，即可求得平面區域的面積．

解答 解：方法一：根據題目信息，作出圖形，如圖所示：

聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=4}\end{array}\right.$，則所求的面積為S=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{2x}$dx+${∫}_{2}^{8}$（$\sqrt{2x}$-x+4）dx．
∵[$\frac{1}{3}$•$（2x）^{\frac{3}{2}}$]′=$\sqrt{2x}$，
∴S=[$\frac{1}{3}$•$（2x）^{\frac{3}{2}}$]${丨}_{0}^{2}$+[$\frac{1}{3}$•$（2x）^{\frac{3}{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$+4x]${丨}_{2}^{8}$=18
故拋物線y²=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積是18，
故選A．
方法二：根據題目信息，作出圖形，如圖所示：
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=4}\end{array}\right.$，
則所求的面積為S=${∫}_{-2}^{4}$（y+4-$\frac{{y}^{2}}{2}$）dy=（$\frac{1}{2}$y²+4y-$\frac{{y}^{3}}{6}$）${丨}_{-2}^{4}$=（8+16-$\frac{32}{3}$-2+8-$\frac{4}{3}$）=18，
故選A．

點評 本題考查定積分的簡單應用，考查拋物線的與直線的位置關系，考查計算能力，選擇合適的積分函數能夠減少計算量，屬于中檔題．