Question

9．P是雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的右支上一點，M，N分別是圓x²+y²+10x+21=0和x²+y²-10x+24=0上的點，則|PM|-|PN|的最大值為（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 由題設通過雙曲線的定義推出|PF₁|-|PF₂|=6，利用|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，推出|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|-|NF₂|，求出最大值．

解答 解：雙曲線雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，如圖：
∵a=3，b=4，c=5，
∴F₁（-5，0），F₂（5，0），
∵x²+y²+10x+21=0，x²+y²-10x+24=0，
∴（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，
∴-|PN|≤-|PF₂|+|NF₂|，
所以，|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|+|NF₂|
=6+1+2
=9．
故選D

點評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．