Question

10．過拋物線y²=4x的頂點O作兩條互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設直線OA的方程為y=kx（k≠0），代入拋物線方程，求得交點A，再設出直線OB的方程，可得交點B，再由中點坐標公式，運用平方消元，即可得到中點的軌跡方程．

解答 解：設M（x，y），直線OA的斜率為k（k≠0），則直線OB的斜率為$-\frac{1}{k}$．
直線OA的方程為y=kx，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{y^2}=2px\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2p}{k^2}\\ y=\frac{2p}{k}\end{array}\right.$，即$A（\frac{2p}{k^2}，\frac{2p}{k}）$，
同理可得B（2pk²，-2pk）．
由中點坐標公式，得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{p}{k^2}+p{k^2}\\ y=\frac{p}{k}-pk\end{array}\right.$，消去k，得y²=p（x-2p），
此即點M的軌跡方程y²=2（x-4），

點評 本題考查拋物線的方程和性質，主要考查直線和拋物線方程聯立，求交點，同時考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，屬于中檔題．