Question

8．在平面直角坐標系xOy中，傾斜角為α（α≠$\frac{π}{2}$）的直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρcos²θ-4sinθ=0．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知點P（1，0），若點M的極坐標為（1，$\frac{π}{2}$），直線l經過點M且與曲線C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為Q，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數得到直線l的普通方程、利用極坐標與直角坐標的互化方法，求出曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為x+y-1=0，與x²=4y聯立可得x²+4x-4=0，求出Q的坐標，即可求|PQ|的值．

解答 解：（Ⅰ）傾斜角為α（α≠$\frac{π}{2}$）的直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數），普通方程為y=tanα（x-1）．
曲線C的極坐標方程是ρcos²θ-4sinθ=0，直角坐標方程x²=4y；
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為x+y-1=0，與x²=4y聯立可得x²+4x-4=0，
∴線段AB的中點的橫坐標為-2，縱坐標為3，即Q（-2，3），
∴|PQ|=$\sqrt{（1+2）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查參數方程、極坐標方程、直角坐標方程的互化，考查直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．