Question

18．已知函數$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x}$為奇函數．
（1）若函數f（x）在區間$[{\frac{m}{2}，m}]（{m＞0}）$上為單調函數，求m的取值范圍；
（2）若函數f（x）在區間[1，k]上的最小值為3k，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意和奇函數的性質得f（-1）=-f（1），代入解析式列出方程求出a，可求出f（x）并判斷出f（x）的單調性，由條件和單調性列出關于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）根據函數的單調性和條件，分兩種情況列出不等式組，求出k的值．

解答 解：（1）∵函數$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x}$為奇函數，
∴f（-1）=-f（1），則-（1-a+4）=-（1+a+4），解得a=0，
即$f（x）=\frac{{x}^{2}+4}{x}$=$x+\frac{4}{x}$，
∴f（x）在（0，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數，
∵函數f（x）在區間$[{\frac{m}{2}，m}]（{m＞0}）$上為單調函數，
∴m≤2或$\frac{m}{2}≥2$，則0＜m≤2或m≥4，
∴m的取值范圍是（0，2]∪[4，+∞）；
（2）由（1）知，
f（x）在（0，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數，
∵f（x）在區間[1，k]上的最小值為3k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜k≤2}\\{f（k）=k+\frac{4}{k}=3k}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k≥2}\\{f（2）=2+\frac{4}{2}=3k}\end{array}\right.$，
解得k=$\sqrt{2}$或k=$\frac{4}{3}$（舍去），
即k的值是$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數奇偶性的性質，以及對號函數的單調性的應用，考查方程思想，分類討論思想，屬于中檔題．