Question

15．在△ABC中，sin（C-A）=1，sinB=$\frac{1}{3}$．
（I）求sinA的值； 
（II）設b=$\sqrt{6}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）由已知可求C-A=$\frac{π}{2}$，結合三角形內角和定理可求A=$\frac{π}{4}$-$\frac{B}{2}$，利用兩角差的正弦函數公式即可化簡求值．
（Ⅱ）由正弦定理可求BC=$\frac{ACsinA}{sinB}$的值，利用兩角和的正弦函數公式可求sinC的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（I）由sin（C-A）=1，可得：C-A=$\frac{π}{2}$，且C+A=π-B，
∴A=$\frac{π}{4}$-$\frac{B}{2}$，
∴sinA=sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{B}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos$\frac{B}{2}$-sin$\frac{B}{2}$），
∴sin²A=$\frac{1}{2}$（1-sinB）=$\frac{1}{3}$，又sinA＞0，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅱ）由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，可得：BC=$\frac{ACsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{3}}$=3$\sqrt{2}$，
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=3$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了三角形內角和定理，兩角差的正弦函數公式，正弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．