Question

已知函數f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N^*）滿足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）設g（x）=f（x）-x²+m，若函數y=log_mg（x）（m＞0且m≠1）在區間[-2，4]上單調遞增，求實數m的取值范圍；
（3）設函數h（x）=log₂[t-f（x）]，討論此函數在定義域范圍內的零點個數．

Answer 1

考點：二次函數的性質,對數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據條件①②即可求出a，或c的范圍，再根據a，c∈N^*即可求得a=1，c=2；
（2）求出g（x）=2x+2+m，則g（x）＞0，即m＞-2x-2在[-2，4]上恒成立，從而求得m＞2，而根據函數y=log_mg（x）（m＞0且m≠1）在區間[-2，4]上單調遞增，從而得到y′=

2

(2x+m+2)lnm

＞0，所以lnm＞0，m＞1，最后即得m的取值范圍m＞2；
（3）先使函數h（x）有意義，則得到t＞x²+2x+2=（x+1）²+1，所以t＞1；要判斷h（x）的零點，所以令h（x）=0，從而得到t=x²+2x+3=（x+1）²+2，從而根據直線y=t和拋物線y=x²+2x+3的交點情況，即可得到函數h（x）取得零點的情況．

解答： 解：（1）由f（1）=5得，a+2+c=5，∴c=3-a    ①；
由6＜f（2）＜11得，6＜4a+4+c＜11         ②；
∴①帶入②得-

1

3

＜a＜

4

3

，∵a∈N^*；
∴a=1，c=2；
（2）依題意有g（x）=2x+2+m，則：
y=log_m（2x+2+m）在區間[-2，4]上單調遞增；
∴y′=

2

(2x+m+2)lnm

＞0在[-2，4]上恒成立；
∴

lnm＞0 2x+m+2＞0

；
∴m＞1，且m＞-2x-2在[-2，4]上恒成立；
-2x-2在[-2，4]上的最大值為2；
∴m＞2；
∴實數m的取值范圍為（2，+∞）；
（3）由函數h（x）知：t＞f（x）=x²+2x+2=（x+1）²+1；
∴t＞1；
令h（x）=0，則：
t-f（x）=1；
即：t=x²+2x+3=（x+1）²+2；
∴當1＜t＜2時，函數y=t與拋物線y=x²+2x+3無交點，即函數h（x）無零點；
當t=2時，函數y=t與拋物線y=x²+2x+3只有一個交點，即函數h（x）有一個零點；
當t＞2時，函數y=t與拋物線y=x²+2x+3有兩個交點，即函數h（x）有兩個零點．

點評：考查配方法解決二次函數最值問題，以及直線和拋物線交點的情況和對應方程解的情況的關系，以及函數零點的概念．