Question

若關于x的方程lg（-x²+mx-1）=lg（3-x）有兩個不同的正數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：根據對數函數得出不等式m＞x+

1

x

，0＜x＜3有解，m≥2；再根據函數y=m，與函數y=x+

4

x

-1，有2個交點，得出3＜m＜

10

3

，總結即可得出實數m的取值范圍．

解答： 解：∵關于x的方程lg（-x²+mx-1）=lg（3-x）有兩個不同的正數解，
x＜3，-x²+mx-1＞0，
∴m=x+

4

x

-1有兩個不同的正數解，且滿足x＜3，-x²+mx-1＞0，
即不等式m＞x+

1

x

，0＜x＜3有解，
∴m≥2
∵函數y=m，與函數y=x+

4

x

-1，有2個交點，


當x=2時，x+

4

x

最小值為4，當x=3時，x+

4

x

的值為3+

4

3

=

13

3

當x=2時，x+

4

x

-1≥3，當x=3時，x+

4

x

-1=

13

3

-1=

10

3

∴3＜m＜

10

3

，
綜上：實數m的取值范圍（3，

10

3

）

點評：本題綜合考察了對數函數的性質，方程的根與函數圖象的交點，運用數形結合的思想解決問題，難度較大．