Question

若函數f（x）=-

1

b

e^ax（a＞0，b＞0）的圖象在x=0處的切線與圓x²+y²=1相切，則a+b的最大值是（　　）

• A、4
• B、2

  2

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：求函數的導數，求出切線方程根據直線和圓相切得到a，b的關系式，利用換元法即可得到結論．

解答： 解：函數的f（x）的導數f′（x）=-

a

b

eax，
在x=0處的切線斜率k=f′（0）=-

a

b

，
∵f（0）=-

1

b

，∴切點坐標為（0，-

1

b

），
則在x=0處的切線方程為y+

1

b

=-

a

b

x，
即切線方程為ax+by+1=0，
∵切線與圓x²+y²=1相切，
∴圓心到切線的距離d=

|1|

a2+b2

=1，
即a²+b²=1，
∵a＞0，b＞0，
∴設a=sinx，則b=cosx，0＜x＜

π

2

，
則a+b=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∵0＜x＜

π

2

，
∴

π

4

＜x+

π

4

＜

3π

2

，
即當x+

π

4

=

π

2

時，a+b取得最大值為

2

，
故選：D

點評：本題主要考查導數的幾何意義，以及直線和圓的位置關系，綜合考查了換元法的應用，綜合性較強．